By Vijay V. Vazirani

Le champ des algorithmes d’approximation est aujourd’hui l’un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de l. a. derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d’?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? los angeles beaut? des r?sultats. Ce livre reveal ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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Example text

Il existe alors i j et une arˆete uv telle que u ∈ Di et v ∈ Dj . Alors, l’arˆete uv est pr´esente dans le graphe Gi , ce qui contredit que u soit de degr´e nul. Soit C ∗ une couverture par sommets optimale. Consid´erons tout d’abord un sommet v ∈ C. Comme v ∈ Wj pour un certain j, son poids peut s’´ecrire de la fa¸con suivante : w(v) = ti (v) i j Consid´erons maintenant un sommet v ∈ V j, et son poids est minor´e par : w(v) C. Alors v ∈ Dj pour un certain ti (v) i

Couverture par ensembles 25 coloriez v ∪ N (v) en utilisant trois couleurs√distinctes. Continuez jusqu’` a ce que tous les sommets soient de degr´e n. Puis, utilisez l’algorithme de la premi`ere partie. 7 Nous appellerons 2SC la restriction du probl`eme de la couverture par ensembles aux instances o` u f = 2. D´emontrez que 2SC est ´equivalent au probl`eme de la couverture par sommets munis de poids arbitraires, et ce au travers de r´eductions isofacteurs. 2 est une Hk -approximation, o` u k est la taille du plus grand ensemble de S (plus pr´ecis´ement du plus grand ensemble s´electionn´e dans une couverture optimale).

Un coupe-cycles de sommets (ou une couverture par sommets des cycles) de G est un ensemble de sommets de G tel que le sous-graphe induit par leur suppression est acyclique. Donnez une 3-approximation pour trouver une couverture par sommets des cycles d’un graphe orient´e de taille minimum. Indication : D´emontrez qu’il suffit de « casser » tous les cycles de longueur 3. Utilisez la f -approximation pour la couverture par ensembles minimum. 15 (Hochbaum [133]) Consid´erons le probl`eme suivant. 18 (Couverture Maximum)10 Etant U contenant n ´el´ements munis de poids positifs, une collection de sousensembles S1 , .

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